Box-Behnken計画

応答曲面のためのBox-Behnken(ボックスーベーンケン)計画を紹介します。中心複合計画のような2次以上のモデルのための計画ですが、効率的なサンプリングを行う側面があります。

Box-Behnken計画

Box-Behnken計画（Box Behnken, BBD）は1960年にGeorge E. P. BoxとDonald Behnkenに考案されました[1]。Box-Behnken計画は2次以上のモデルを考える応答曲面法を想定しています。

良く比較されるのが中心複合計画（Central Composite Design, CCD）ですが、両者を3因子の実験計画で図示し比較したものが下記です。

中心複合計画では実験領域の頂点に置く実験点に加えて、星点（star point）と呼ばれる実験点と中心点により構成されます。star pointは立方体上の実験領域からははみ出した実験点になります。

Boen-Behnkenの場合は実験領域の頂点ではなく辺の中心をとっています(※)。つまりBox-Behnkenは全ての変数のコーナーをとりません。

※考え方としては辺の中心というよりは、注目変数以外は中心点と同じ座標をとるように実験を作ります。そうすると辺の中心に乗ります。

中心複合計画のようなコーナーを実験するかどうかは意外と重要で、全ての変数のコーナーをとると何らかの制約により実験が行うことが出来ない場合があります。その場合は、実験領域の縮小などを検討しなければなりませんが、Box-Behnken計画の方がそういった問題は起こりづらいです。

もちろんコーナーの実験点を減らすので、コーナー付近のモデル推定精度は低くなります。

上図は3因子のBox-Behnken計画を実験領域の立方体と共に示したものと、同じ実験点で多面体のようにつないだものの比較です。実験点の分布が、ほぼ球形になっていることがわかります。

Box-Behnken計画の実験回数

次にBox-Behnken計画（BBD）と中心複合計画（CCD）のトータル実験回数の比較を下図でしてみます。Box-Behnken計画は全要因のうち、m個の要因（前節の注目変数）に限定した完全実施計画をいくつか（block#）行う実験と見なすことが出来ます。これらの積が下図のFactorial列です。中心点のサンプリング数は原著論文[1]に寄ります。Box-Behnken計画は大抵の場合、中心複合計画より実験回数が少ないことが見て取れます。

メリットとデメリット

以上のようなBox-Behnken計画ですが、メリットは

1) 中心複合計画より、わずかに実験点が少ない
2) 実験領域コーナーの実験が少ない
3) ほぼ球形のサンプリング

デメリットは

実験領域コーナーのモデル推定精度が低い

といった所になります。

まとめ

応答曲面のためのBox-Behnken計画について、中心複合計画と比較しながら説明してみました。

[1]George Box, Donald Behnken, "Some new three level designs for the study of quantitative variables", Technometrics, Volume 2, pages 455–475, 1960.
[2]en.wikipedia.org