最適計画 - Variance Dispersion Graph(VDG)及びFraction of Design Space(FDS) plot
応答曲面のための実験計画としてD最適などに代表される最適基準に基づいた最適計画を紹介しましたが、得られた実験計画を評価する可視化手法があります。Variance dispersion graph(VDG)やFraction of Design Space plot(FDS)などです。
対象モデル
多項式近似する場合の共通モデルですが、一応セクション毎にメモ代わりに記載しておきます。
以下データ数を[math] \displaystyle n [/math]、近似パラメータの数を[math] \displaystyle k [/math]とします。
[math] \displaystyle y ={\beta}_0 + \sum_{i=1}^{n}{{\beta}_i x_i} + \sum_{i<j}^{n}{{\beta}_{ij} {x_i}{x_j}} + \sum_{i=1}^{n}{{\beta}_{ii} {x_i}^2} [/math]
2変数の場合は下記の通り。
[math] \displaystyle y ={\beta}_0 + {\beta}_1 x_1 + {\beta}_2 x_2 + {\beta}_{3} {x_1}{x_2} + {\beta}_{4} {x_1}^2 + {\beta}_{5} {x_2}^2 [/math]
これを行列式で表すと、
[math] \mathbf{y}=\left \{ \begin{matrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{matrix} \right \} [/math]
[math] \mathbf{X}=\left \{ \begin{matrix} 1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k} \\ 1 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nk} \\ \end{matrix} \right \} [/math]
[math] \mathbf{\beta}=\left \{ \begin{matrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_n \end{matrix} \right \} [/math]
[math] \mathbf{\varepsilon}=\left \{ \begin{matrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \vdots \\ \varepsilon_n \end{matrix} \right \} [/math]
と置くと、近似モデルの行列式表示は下記のようになります。
[math] \displaystyle \mathbf{y}= \mathbf{X} \beta + \varepsilon [/math]
最小二乗法から[math] \displaystyle \mathbf{\beta} [/math]の推定値[math] \displaystyle \mathbf{b} [/math]が下記のように得られます。
[math] \displaystyle \mathbf{b}= (\mathbf{X}^{\mathit{T}} \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^{\mathit{T}} \mathbf{y} [/math]
[math] \displaystyle (\mathbf{X}^{\mathit{T}} \mathbf{X})^{-1} [/math]を最小化すると予測分散が小さくなり、実験点数[math] \displaystyle n [/math]で割ったものを情報行列[math] \displaystyle M [/math]と呼びます。
[math] \displaystyle \mathbf{M} = \frac {(\mathbf{X}^{\mathit{T}} \mathbf{X})^{-1}}{n} [/math]
Variance dispersion graph(VDG)
Variance dispersion graph(VDG)はJensenら[1]によって提案されています。縦軸に平均予測誤差を取り、横軸には設計空間の実験中心点からの距離を取ります。
[math] \displaystyle FDS(\nu ; \xi) = {\phi}^{-1} \int_A dx [/math]
一例として2変数3水準20試行でD最適、I最適な実験計画を組んだ場合のVDGを下記に示します。平均予測誤差を最小化するI最適基準が大体の領域で達成できていることが分かります。
Fraction of Design Space (FDS) plot
Fraction of Design Space (FDS) plotは Zahranら[1]によって提案されたもので、縦軸に予測誤差を取り、横軸は予測誤差以下になる領域の割合を取ります。一種の確率プロットです。
[math] \displaystyle \xi_{n} [/math]をn回試行の実験計画、[math] \displaystyle \chi [/math]を実験空間の候補可能点として
[math] \displaystyle FDS(\nu ; \xi_{n} ) = {\phi}^{-1} \int_A dx [/math]
[math] \displaystyle A = \left\{ x \in \chi : d(x, \xi_{n}) < \nu \right\} [/math]
書き下すと上記の通りです。前述の通り設計空間内にわたって予測誤差を計算した、ある種の正規確率プロットのようなものです。ただし横軸は割合（確率）で、シグマ変換はしません。
VDGの場合と同様に2変数3水準20試行でD最適、I最適な実験計画を組んだ場合のFDS plotを下記に示します。
まとめ
計算機支援実験計画における実験計画評価ツールとしてVDG/FDS plotを示してみました。機会があれば使ってみてください。
[1] Giovannitti-Jensen A, Myers RH (1989). “Graphical Assessment of the Prediction Capability of Response Surface Designs.” Technometrics, 31(2), 159–171.
[2] Zahran AR, Anderson-Cook CM, Myers RH (2003). “Fraction of Design Space to Assess Prediction Capability of Response Surface Designs.” Journal of Quality Technology, 35(4), 377–386.
