実験計画法（３）－一元配置と二元配置実験

いくつかの基本的な実験計画（一元配置実験、二元配置実験）について説明します。

一元配置実験

実験計画の基礎となるのは一元配置実験です。つまり一つのパラメータについて、繰り返した実験を行うことです。例えば要因Aについて3水準実験を行った結果が下記のようなイメージです。

分散分析の構造モデルは下記で

[math] \displaystyle x_{ij} = \mu + a_{j} + e_{ij} [/math]

総データ数を[math] N [/math]、水準数を[math] m [/math]、各水準のデータ数を[math] n_i [/math]、総和を[math] T [/math]、各水準の総和を[math] \displaystyle T_{i\cdot} [/math]とすると各平方和は下記の通り。

修正項　[math] \displaystyle CT = \frac{T^2}{N} [/math]
総平方和　[math] \displaystyle S_T = \sum_{i=1}^{N}{x_i}^2 - CT [/math]
要因平方和　[math] \displaystyle S_A = \sum_{i=1}^{m} \frac{ {T_{i\cdot}}^2}{ {n_i} } - CT [/math]
誤差平方和　[math] \displaystyle S_E = S_T - S_A [/math]

各自由度は下記のようになり、

総自由度　[math] \displaystyle \phi_T = N - 1 [/math]
要因自由度　[math] \displaystyle \phi_A = m - 1 [/math]
誤差自由度　[math] \displaystyle \phi_E = \phi_T - \phi_A = N - m [/math]

以上をまとめた下記が分散分析表でした。

要因	平方和	自由度	平均平方	[math] \displaystyle F_0 [/math]値	[math] \displaystyle P [/math]値
A	[math] \displaystyle S_A [/math]	[math] \displaystyle \phi_A = m - 1 [/math]	[math] \displaystyle V_A [/math]	[math] \displaystyle {V_A}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_A [/math]
E	[math] \displaystyle S_E [/math]	[math] \displaystyle \phi_E = N - m [/math]	[math] \displaystyle V_E [/math]
T	[math] \displaystyle S_T [/math]	[math] \displaystyle \phi_T = N - 1 [/math]

（繰り返しのない）二元配置実験

二元配置実験では、下記のように要因A、Bについて各水準の総当たり実験を行います。

分散分析の構造モデルは下記で

[math] \displaystyle x_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + e_{ij} [/math]

総データ数を[math] N [/math]、水準数を[math] n_a, n_b [/math]、総和を[math] T [/math]、要因Aについて[math] i [/math]水準の総和を[math] \displaystyle T_{ i \cdot \cdot } [/math]、要因Bについて[math] j [/math]水準の総和を[math] \displaystyle T_{ \cdot j \cdot } [/math]とすると各平方和は下記の通り。

修正項　[math] \displaystyle CT = \frac{T^2}{N} [/math]
総平方和　[math] \displaystyle S_T = \sum_{i=1}^{N}{x_i}^2 - CT [/math]
A要因平方和　[math] \displaystyle S_A = \sum_{i=1}^{n_a} \frac{ {T_{ i \cdot \cdot }}^2}{ {n_b} } - CT [/math]
B要因平方和　[math] \displaystyle S_B = \sum_{j=1}^{n_b} \frac{ {T_{ \cdot j \cdot }}^2}{ {n_a} } - CT [/math]
誤差平方和　[math] \displaystyle S_E = S_T - S_A - S_B [/math]

各自由度は下記のようになり、

総自由度　[math] \displaystyle \phi_T = N - 1 [/math]
A要因自由度　[math] \displaystyle \phi_A = n_a - 1 [/math]
B要因自由度　[math] \displaystyle \phi_B = n_b - 1 [/math]
誤差自由度　[math] \displaystyle \phi_E = \phi_T - \phi_A - \phi_B [/math]

一元配置実験と同様に下記のような分散分析表を作成できます。

要因	平方和	自由度	平均平方	[math] \displaystyle F_0 [/math]値	[math] \displaystyle P [/math]値
A	[math] \displaystyle S_A [/math]	[math] \displaystyle \phi_A = n_a - 1 [/math]	[math] \displaystyle V_A [/math]	[math] \displaystyle {V_A}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_A [/math]
B	[math] \displaystyle S_B [/math]	[math] \displaystyle \phi_B = n_b - 1 [/math]	[math] \displaystyle V_B [/math]	[math] \displaystyle {V_B}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_B [/math]
E	[math] \displaystyle S_E [/math]	[math] \displaystyle \phi_E = N - n_a - n_b [/math]	[math] \displaystyle V_E [/math]
T	[math] \displaystyle S_T [/math]	[math] \displaystyle \phi_T = N - 1 [/math]

（繰り返しのある）二元配置実験

前節でわざわざ”繰り返しのない”二元配置実験と断ったのに対し、”繰り返しのある”二元配置実験では、要因A、Bの（主）効果だけでなく、交互作用も調べることができます。実験は下記のように要因A、Bについて各水準について繰り返し実験を行います。

分散分析の構造モデルは下記で

[math] \displaystyle x_{ij} = \mu + a_{i} + b_{j} + {a \times b}_{ij} + e_{ij} [/math]

各要因平方和に加えて、A及びB要因の交互作用項が加わります。

AB要因平方和　[math] \displaystyle S_{AB} = \sum_{i=1}^{n_a} \sum_{j=1}^{n_b} \frac{ {T_{ ij \cdot }}^2}{ {n_{a \times b}} } - CT [/math]
AxB要因平方和　[math] \displaystyle S_{A \times B} = S_{AB} - S_A - S_B [/math]
誤差平方和　[math] \displaystyle S_E = S_T - S_{AB} [/math]

交互作用項の自由度は下記のようになり、

AxB要因自由度　[math] \displaystyle \phi_{A \times B} = \phi_A \times \phi_B [/math]
誤差自由度　[math] \displaystyle \phi_E = \phi_T - \phi_A - \phi_B - \phi_{A \times B} [/math]

下記のような分散分析表を作成できます。

要因	平方和	自由度	平均平方	[math] \displaystyle F_0 [/math]値	[math] \displaystyle P [/math]値
A	[math] \displaystyle S_A [/math]	[math] \displaystyle \phi_A = n_a - 1 [/math]	[math] \displaystyle V_A [/math]	[math] \displaystyle {V_A}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_A [/math]
B	[math] \displaystyle S_B [/math]	[math] \displaystyle \phi_B = n_b - 1 [/math]	[math] \displaystyle V_B [/math]	[math] \displaystyle {V_B}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_B [/math]
AxB	[math] \displaystyle S_{A \times B} [/math]	[math] \displaystyle \phi_{A \times B} = \phi_A \times \phi_B [/math]	[math] \displaystyle V_{A \times B} [/math]	[math] \displaystyle {V_{A \times B}}/{V_E} [/math]	[math] \displaystyle P_{A \times B} [/math]
E	[math] \displaystyle S_E [/math]	[math] \displaystyle \phi_E = \phi_T - \phi_A - \phi_B - \phi_{A \times B} [/math]	[math] \displaystyle V_E [/math]
T	[math] \displaystyle S_T [/math]	[math] \displaystyle \phi_T = N - 1 [/math]

まとめ

実験検討を行う上では一元配置、二元配置が関の山で、上記の実験計画と分散分析はエンジニアの素養だと思っています。実験バラツキなども抑えた上で結論を出せるように、解析方法などは押さえておいて頂けたらと思います。